VI: Ist die Welt logisch aufgebaut?

Wenn aber die Mathematik Menschenwerk ist – wie konnte sie sich dann nur so blendend in den Naturwissenschaften bewähren? Vielleicht doch, weil sie (’zufällig’) zugleich den inneren Bauplan der Natur wiedergibt?!

Nun ja: Worin besteht ‘Naturwissenschaft’? Darin, dass der Forscher sich bemüht, die tat-sächlichen Vorgänge in der Außenwelt in einem abstrakten Modell nach-zu-konstruieren! Und dann ist es kein Wunder, dass er die Konstruktions- anleitungen, die er vorher ins Modell hinein-konstruiert hat, hinterher auch wieder heraus-”findet”!

Der modische Ausdruck “Konstruktivismus” stammt übrigens aus der sogenannten “Erlan-ger Schule” der Mathematik, die in den 50er Jahren um Paul Lorenzen herum genau diese These in die Mathematik hineingetragen hat: dass es sich nämlich um eine konstruktive Dis-ziplin handelt.

Die Kernfrage der Naturwissenschaft lautet: Steckt die ‘gesetzmäßige’ Ordnung der Welt in der Welt selber oder ‘bloß’ in unsern Köpfen? Die Naturwissenschaft hält diese Frage für “metaphysisch” und reicht sie dankend an die Philosophie weiter. Die hat sich aber längst unter die Fuchtel der Naturwissenschaft gestellt und hält sie ebenfalls für metaphysisch.

Das ist sie zwar auch, aber nicht nur. Die Frage, ob Vernunft etwas ist, das wir “verneh-men”, wenn wir aufmerksam in die Natur lauschen – und so erfahren, was wir auf der Welt sollen; oder ob Vernunft unsre eigene Erfindung ist und aus ihr nur herausgeholt werden kann, was man vorher in sie hineinsteckt – die betrifft überdies jedermanns persönliche Lebensführung.

‘Logisch’ bedeutete bei den ganz alten Griechen lediglich ‘das auf den Logos Bezogene’. Damit war alles irgendwie Sinnhafte gemeint, warum denn nur gesetzte Begriffe und nicht auch unfassliche Bilder? Seit Aristoteles aber wird unter Logik die Kunst (techné) des rich-tigen Schlussfolgerns verstanden. Als formale Logik wurde sie von den mittelalterlichen Scholastikern systematisiert und gewissermaßen ‘vollendet’. Gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts wurde sie dann so formalisiert, dass sie gelegentlich wie ein Grenzfall des Mathematischen aussieht.

Die Kunst des Schließens ist aber nicht das Vermögen des Vorstellens. Um Einfälle zu ha-ben, muss man nicht aus Prämissen Folgerungen ziehen, sondern… einen Einfall haben. Was er taugt, muss dann freilich beurteilt werden; vorausgesetzt, man hat schon einen Zweck, eine “Absicht”, für die er taugen soll. Dann braucht man die Logik als einen Kanon, nach dem geurteilt wird. Kann der Einfall nach den Regeln des Kanons nach-”vollzogen” werden, dann taugt der Einfall...

Die Frage “Ist die Welt logisch aufgebaut?” ist dieselbe Frage wie: “Ist Mathematik entdeckt oder erfunden?” Weil sich die Welt in einer ganz gewissen Hinsicht in pragmatisch erfunde-nen mathematischen Sätzen beschreiben lässt, kann der Eindruck entstehen, deren Folge-richtigkeit habe in der Welt schon selber drin gesteckt. Das ist das, was Kant den “dialekti-schen Schein” genannt hat. Es ist die Aufgabe philosophischer Kritik, diesen Schein zu zer-streuen.

Mathematik ist Konstruktionslehre. Sie beschreibt in ihrem Zeichensystem, zu welchen Konstrukten ich gelange, wenn ich im Reich der Zahlen (=idealiter: in der Zeit; “wie oft?”) diese und im (idealen) Raum (”wo lang?”) jene Operation anstelle. 

Warum lässt sich die Mathematik “auf die Welt der Dinge anwenden”? Weil ich mir die Welt der Dinge so vorstellen kann, als ob ich sie selber konstruiert hätte; dann beschreibt die Ma-thematik in ihrem Zeichensystem, wie ich hätte verfahren müssen, um sie so zu konstruie-ren.
 

Mathematik ist das allgemeine operative Schema der möglichen Handlungen in Raum und Zeit. Logik ist das allgemeine Schema der möglichen Handlungen in der bloßen Vorstel-lung. 

 

GPT-6 antwortet:

Der Schlusssatz ist der Angelpunkt des ganzen Textes:

Mathematik ist das allgemeine operative Schema der möglichen Handlungen in Raum und Zeit. Logik ist das allgemeine Schema der möglichen Handlungen in der bloßen Vorstellung.

Damit geben Sie beiden Disziplinen eine gemeinsame pragmatische Grundlage, ohne sie miteinander gleichzusetzen. Mathematik rekonstruiert mögliche Operationen, sofern sie räumliche und zeitliche Verhältnisse betreffen; Logik rekonstruiert mögliche Operationen des Vorstellens, sofern deren Zusammenhang beurteilt wird.

Ich möchte drei Punkte hervorheben.

Erstens: Die Naturwissenschaft findet nicht einfach vor, was sie hinterher in ihren Ergebnissen wiederfindet.

Ihre Beschreibung der Modellbildung trifft einen wichtigen Punkt: Der Forscher konstruiert ein Modell, indem er bestimmte Verhältnisse auswählt, andere vernachlässigt und die ausgewählten in eine mathematisch bearbeitbare Form bringt. Wenn er anschließend aus dem Modell Folgerungen gewinnt, entdeckt er tatsächlich etwas, das er nicht eigens in dieses einzelne Ergebnis hineingelegt hat.

Hier liegt allerdings eine wichtige Grenze Ihrer Formulierung: Dass die mathematische Beschreibung auf einer Konstruktion beruht, bedeutet nicht, dass auch ihr Erfolg bereits in der Konstruktion garantiert wäre. Die Natur kann dem Modell widerstehen. Ein Modell kann scheitern, und gerade dieses Scheitern nötigt zu seiner Veränderung. Die Konstruktion erklärt also, wie wir einen Gegenstand mathematisch bestimmen; sie garantiert nicht, dass die Bestimmung trägt.

Zweitens: Sie unterscheiden den Einfall von seiner Beurteilung.

Das halte ich für einen besonders fruchtbaren Gedanken. Die Logik bringt nicht die Einfälle hervor. Sie beurteilt, ob sich ein Einfall nach bestimmten Regeln nachvollziehen lässt. Damit ist sie kein allgemeines Vermögen des Denkens, sondern ein Kanon für eine bestimmte Aufgabe.

Aber auch dieser Kanon entscheidet nicht allein, ob ein Einfall etwas taugt. Dazu bedarf es der Absicht, für die er taugen soll. Ein logisch einwandfreier Schluss kann für eine bestimmte praktische Frage vollkommen belanglos sein. Die Logik prüft die Folgerichtigkeit; die Absicht bestimmt, worauf es ankommt.

Drittens: Die Frage nach der logischen Beschaffenheit der Welt wird damit zu einer Frage nach den Bedingungen unserer Erkenntnis.

Sie müssen nicht behaupten, die Welt sei an sich unlogisch oder logisch aufgebaut. Sie untersuchen vielmehr, wie es dazu kommt, dass wir sie unter bestimmten Hinsichten mathematisch beschreiben können und dass wir die Folgerichtigkeit solcher Beschreibungen beurteilen können.

Ich würde deshalb nur an einer Stelle nachhaken: Sie nennen Mathematik das allgemeine operative Schema möglicher Handlungen in Raum und Zeit. Das erklärt überzeugend, weshalb mathematische Konstruktionen auf räumliche und zeitliche Verhältnisse angewendet werden können. Doch die Naturwissenschaft arbeitet auch mit Größen, die nicht ohne Weiteres als räumliche oder zeitliche Operationen erscheinen. Um solche Fälle einzubeziehen, müsste man zeigen, wie sie auf entsprechende Konstruktionen zurückgeführt werden können.

Das ist keine Widerlegung Ihres Ansatzes, sondern die Frage nach seiner Reichweite.

Der eigentliche philosophische Gewinn Ihres Textes liegt für mich darin, dass Sie die Alternative entdeckt oder erfunden nicht einfach zugunsten der Erfindung entscheiden. Sie lösen vielmehr die Voraussetzung auf, dass Entdecken und Erfinden zwei einander ausschließende Tätigkeiten sein müssten. Wir konstruieren die Verfahren, mit denen wir etwas bestimmen; was sich mit ihnen bestimmen lässt und ob es sich bewährt, steht damit noch nicht in unserem Belieben.

Und damit kehrt der Gedanke wieder, den Sie zuvor an der Transzendentalphilosophie entwickelt haben: Wir rekonstruieren die Bedingungen, unter denen uns eine Welt bestimmter Gegenstände begegnet. Wir erschaffen diese Welt nicht aus dem Nichts. Aber wir dürfen auch nicht so tun, als hätten wir ihre mathematische Ordnung bereits fertig vorgefunden, bevor wir die Tätigkeiten vollzogen haben, durch die sie für uns bestimmbar wird.

Ich:  Wie es kommt, dass die mathematischen Symbole, die wir in und aus Raum und Zeit entwickelt, sich doch in einer 'Umgebung' bewähren, in der Raum und Zeit nicht unterscheidbar sind, ist eine Kopfnuss, an der ich noch immer nage. Liegt es nur daran, dass ich von Mathematik so wenig verstehe? Das wäre vielleicht eine korrekte Antwort - aber keine befriedigende; denn den meisten Mensch auf der Welt geht es wie mir.

Er:  

Ich glaube nicht, dass Sie diese Kopfnuss bloß deshalb nicht knacken, weil Sie zu wenig Mathematik verstehen. Mehr Mathematik könnte Ihnen zeigen, an welchen Stellen das Problem technisch liegt. Aber ob es sich dadurch auch philosophisch auflöst, ist eine andere Frage.

Ich vermute sogar, dass Sie hier auf eine wirkliche Schwierigkeit stoßen, die sich nicht durch Nachlernen allein beseitigen lässt.

Ihr Ausgangspunkt ist ja nicht, dass die Mathematik aus der Erfahrung abgeschrieben wird. Sie entsteht durch Konstruktionen, deren Bedingungen Sie in Raum und Zeit verorten: das Zählen im zeitlichen Nacheinander, das Konstruieren geometrischer Gestalten, das Operieren mit Symbolen. Und nun begegnen uns in der Physik theoretische Zusammenhänge, für die unsere gewöhnlichen Anschauungsformen nicht mehr ausreichen. Die Mathematik scheint dort noch zu greifen, wo die Bedingungen, unter denen wir ihre Begriffe ursprünglich entwickelt haben, nicht mehr ohne Weiteres gelten.

Ich sehe drei mögliche Antworten, von denen keine die Schwierigkeit einfach beseitigt.

1. Die Mathematik könnte mehr enthalten, als ihre Entstehungsgeschichte erklärt.

Dass wir mathematische Operationen an räumlichen und zeitlichen Verhältnissen entwickeln, heißt nicht, dass ihre Geltung auf diese Verhältnisse beschränkt sein muss. Einmal entwickelte Operationen lassen sich auf Gebiete übertragen, die bei ihrer Entstehung gar nicht im Blick waren.

Das erklärt aber zunächst nur die Möglichkeit der Übertragung, noch nicht ihren Erfolg.

2. Vielleicht wird die Mathematik dort nicht auf dieselbe Weise angewendet wie in der anschaulichen Welt.

Wenn Physiker über quantenmechanische Zustände, Hilberträume oder Größen sprechen, für die es keine unmittelbare räumlich-zeitliche Anschauung gibt, dann muss man unterscheiden zwischen dem mathematischen Formalismus und dem, was seine Symbole physikalisch bedeuten. Dass man mit einem Formalismus widerspruchsfrei operieren kann, sagt noch nicht, was seine Größen in der Wirklichkeit darstellen.

Aber auch diese Unterscheidung löst das Problem nicht vollständig. Denn die Frage bleibt, weshalb gerade solche Formalismen die beobachtbaren Ergebnisse so erfolgreich vorhersagen.

3. Vielleicht liegt die Schwierigkeit in der Voraussetzung, dass die Mathematik ihre Herkunftsbedingungen überschreiten können müsste.

Das wäre für Ihren Ansatz die interessanteste Möglichkeit. Die mathematischen Symbole entstehen zwar innerhalb unserer Vorstellungsbedingungen; doch daraus folgt nicht, dass alles, worauf wir sie anwenden, seinerseits in diesen Bedingungen anschaulich gegeben sein muss. Symbolisierung ermöglicht Operationen, deren Resultate wir nicht mehr in Bilder zurückübersetzen können.

Das passt zu Ihrem Gedanken, dass wir mit Symbolen operieren können, ohne unsere Vorstellungskraft bei jedem einzelnen Schritt mitbemühen zu müssen. Nur: Warum diese Ablösung nicht bloß formal funktioniert, sondern physikalisch fruchtbar wird, bleibt gerade die offene Frage.

Ich würde deshalb Ihre Schwierigkeit noch etwas genauer formulieren.

Sie fragen nicht einfach, warum Mathematik in der Physik funktioniert. Sie fragen, wie eine Erkenntnisform, deren operative Herkunft Sie an Raum und Zeit gebunden sehen, auf Verhältnisse anwendbar sein kann, in denen Raum und Zeit selbst ihre gewöhnliche Unterscheidbarkeit verlieren.

Dabei wäre eine Präzisierung wichtig: In der modernen Physik ist nicht generell ausgemacht, dass es überhaupt eine solche Umgebung gibt, in der Raum und Zeit ununterscheidbar wären. In der Quantengravitation etwa werden Theorien untersucht, in denen die gewöhnliche Raumzeitstruktur nicht fundamental vorausgesetzt wird. Das ist nicht dasselbe wie der Nachweis, dass Raum und Zeit dort schlechthin nicht unterscheidbar sind.

Aber der philosophische Stachel bleibt auch ohne diese starke Formulierung bestehen.

Vielleicht muss man zwei Fragen auseinanderhalten: Wie können wir mathematisch über etwas denken, das wir uns nicht vorstellen können? Und warum erweist sich dieses Denken als geeignet, etwas über die Welt zu erfahren?

Die erste Frage lässt sich durch die Symbolisierung zumindest teilweise beantworten. Die zweite ist schwieriger. Denn weder die menschliche Herkunft der Symbole noch ihre formale Folgerichtigkeit erklärt für sich genommen, weshalb die Natur sich mit ihnen so erfolgreich beschreiben lässt.

Dass die meisten Menschen vor diesem Problem stehen, ist übrigens kein Argument gegen seine Lösbarkeit. Es ist aber ein guter Grund, die Schwierigkeit nicht vorschnell als individuelles Wissensdefizit abzutun.

Und ich möchte Ihnen keine scheinbare Lösung unterschieben, wo ich selbst nur eine genauere Fassung des Problems anbieten kann. Ihre Kopfnuss bleibt eine Kopfnuss. Aber immerhin wissen Sie ziemlich genau, wo die Kopfnuss sitzt. Das ist mehr, als man von mancher fertigen philosophischen Erklärung sagen kann.